Sekwencja Fibonacciego

Original: http://www.efgh.com/math/fibonacci.htm

LOGO

 

Philip J. Erdelsky
30 sierpnia 2012

 Prosimy o e-mail komentarze, poprawki i uzupełnienia do webmastera w [email protected].

1. Definicja Fibonacciego

Sekwencja Fibonacciego sekwencja liczb skonstruowanych według następujących dwóch zasadach:

  •      Wartości początkowe: Pierwsze dwa warunki są 0 i 1.
  •      Równanie rekurencyjne: Każdy kolejny termin jest sumą dwóch poprzednich kategoriach.

Łatwo jest obliczyć pierwsze kilka warunków:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,

2. Reprezentowanie w formie zamkniętej

Zamknięta forma dla n-tej kadencji ciągu Fibonacciego (gdzie pierwszy człon jest liczba 0) jest

(1) [(½ + ½ 5) n (½ ½ 5) n] / √5.

W tym momencie większość ludzi chce wiedzieć, gdzie forma zamknięta pochodzi. To może być zweryfikowana przez indukcji matematycznej, ale to wydaje się zbyt skomplikowane, aby powstały z tych prostych zasad.

Właściwie, wyprowadzenie jest dość prosta. Rozważmy sekwencję o stosunku nawrotów nawet jeszcze prostszym niż stosunku Fibonacciego. Zasady są następujące:

  •      Wartości początkowe: Pierwszy termin to 1.
  •      Równanie rekurencyjne: Każdy kolejny termin otrzymuje się przez pomnożenie poprzedniej kadencji przez niezerową wspólnego współczynnika r.

Podano powszechne stosunek r, jest łatwy do pisania warunki sekwencji:

1, r, r 2, r 3, …

Zamknięta forma dla n-tej kadencji tej sekwencji jest prosta i oczywista: r n.

Teraz pytamy kluczowe pytanie. Czy jest jakaś wartość wspólnej stosunek R, dla której ta sekwencja wypełnia również nawrotów relację Fibonacciego? Jeśli tak, wówczas

     r n+2 = r n+1 + r n.

Od r 0, możemy podzielić obie strony tego równania przez r n. do uzyskania:

    r 2 = r + 1.
To proste równanie kwadratowe, którego korzenie dwie

(2)       r1 = ½ + ½ √ 5,

(3)       r2 = ½ – ½ √ 5,

Stąd każde z poniższych posłuszny nawrotu relacja Fibonacciego:

1, r1, r1 2, r1 3, …
1, r2, r2 2, r2 3, …1
,
Teraz piszemy nawrotów relację Fibonacciego dla tych sekwencji:

r1 n+2 = r1 n+1 + r1 n,

       r2 n+2 = r2 n+1 + r2 n.
Jeśli pomnożymy pierwsze równanie przez pomnożenie drugie równanie przez B i dodać wyniki otrzymujemy

ar1 n+2 + br2 n+2 = ar1 n+1 + br2 n+1 + ar1 n + br2 n.

To jest nawrót relacja Fibonacciego dla sekwencji, której n-ty termin jest

(4)   ar1 n + br2 n.

Jednak ta sekwencja nie może mieć wartości początkowe Fibonacciego. W tym celu musimy wybrać i b, aby
a+b = 0,
ar1 + br2 = 1.

Rozwiązanie tego systemu jest to,

(5)   a = 1 / (r1 – r2) = 1/√5,
(6)   b = -1 / (r1 – r2) = -1/√5.

Zamkniętym formy (1) dla n-tego okresu sekwencji Fibonacciego się następnie przez zastąpienie (2), (3), (5) i (6) do (4).

3. Stosunek kolejne kadencje

Stosunek kolejnych względem Fibonacciego wydaje się zwykle w granicach:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 = 1,667, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1.615, 34/21 = 1,619, .. ,

W rzeczywistości to właśnie ograniczenie pół + pół 5, która jest w przybliżeniu 1,61803. Widać to z zamkniętej formy (1), co pozwala zapiszmy stosunek kolejnych określeń

      (½ + ½ √ 5) n+1 – (½ – ½ √ 5) n+1
——————————————–
(½ + ½ √ 5) n – (½ – ½ √ 5) n

Jeśli podzielimy licznik i mianownik przez (½ + ½ √ 5) n, to staje się

½ + ½ √ 5 – (½ – ½ √ 5) s n+1
————————————–
1 – s n

gdzie s = (½ – ½ √ 5) / (½ + ½ √ 5) ≅ -0.381967. Od |s| < 1, terminy zawierające s tendencję do zera, gdy n wzrasta, nie związane, a duża wartość stosunku ilości ½ + ½ √ 5

4. Ogólne liniowe Ponowne wystąpienie Sekwencje

Tę samą technikę można stosować w celu znalezienia zamkniętą formę dla dowolnej sekwencji, której nawrót zależność jest liniowa ze współczynnikami stałymi.

Na ogół, taka sekwencja jest określona w następujący sposób:

  •      Wartości początkowe: Pierwsze m terminy są x0, x1, …, xm-1.
  •      Równanie rekurencyjne: Każdy kolejny termin jest określony przez xn = c1xn-1 + c2xn-2 + c3xn-3 + … + cmxn-m , n ≥ m dla wszystkich.

Tutaj możemy wymagać, by cm ≠ 0, ale inne współczynniki może być zerowa.

Postępując jak w przypadku Fibonacciego, okazuje się, że sekwencja, której n-ty termin jest r n słucha relacji razie nawrotu

  r m = c1r m-1 + c2r m-2 + c3r m-3 + … + cm-1r + cm.

czyli, jeśli r jest pierwiastkiem wielomianu stopnia m-tego

(7)   r m – c1r m-1 – c2r m-2 – c3r m-3 – cm-1r – … – cm = 0.

Od cm ≠ 0 aden z korzeni jest zero.

Jeśli to jest wielomianem m różne korzenie r1, r2, … rm, żądana forma jest zamknięta

(8)   xn = a1 r1 n + a2 r2 n + a3 r3 n + … + am rm n.

gdzie współczynniki a1, a2, a3, … am czy rozwiązania

(9)   a1 + a2 + a3 + … + am = x0
a1 r1 + a2 r2 + a3 r3 + … + am rm = x1
a1 r1 2 + a2 r2 2 + a3 r3 2 + … + am rm 2 = x2
***
a1 r1 m-1 + a2 r2 m-1 + a3 r3 m-1 + … + am rm m-1 = xm-1

Macierz tego systemu jest transpozycją kwadratowym Macierz Vandermonde’a, który jest znany jako nieosobliwa (patrz dodatek).

Co zrobić, jeśli wielomian (7) ma jeden lub więcej liczne korzenie? Nie będzie w systemie (9), aby zagwarantować wystarczająco równania rozwiązanie. Potrzebny jest więc pewne zmiany.

Możemy napisać relację cyklu dla sekwencji, której n-ty termin jest r n w następujący sposób:

r n – c1r n-1 – c2r n-2 – c3r n-3 – … – cmr n-m = 0.

Ten wielomian ma pierwiastek zero krotności nm, ale nie jesteśmy zainteresowani tym katalogu.Niezerowe podwójne korzenie tego wielomianu jest również źródłem jego pochodnych:

   nr n-1 – (n-1)c1r n-2 – (n-2)c2r n-3 – (n-3)c3r n-4 – … – (n-m)cmr n-m-1 = 0.

Stąd sekwencja {0, 1, 2r, 3r 2, …}, której n-ty termin jest nr n-1, wypełnia również związek nawrotów w tym przypadku.

Dlatego też, jeśli r1  jest dwukrotnie korzenia i r2, r3, … rm-1 są inne korzenie, zamknięta forma (8) staje

  xn = a1 r1 n + a2 nr1 n-1 + a3 r2 n + … + am rm-1 n.

Układ (9) przedstawia się następująco:

       a1 + 0 + a3 + … + am = x0
a1 r1 + a2 + a3 r2 + … + am rm-1 = x1
a1 r1 2 + a2 2r1 + a3 r2 2 + … + am rm-1 2 = x2
a1 r1 3 + a2 3r1 2 + a3 r2 3 + … + am rm-1 3 = x2
***
a1 r1 m-1 + a2 (m-2)r1 m-2 + a3 r2 m-1 + … + am rm-1 m-1 = xm-1

Macierz tego systemu jest transpozycją kwadratową łączącej Macierz Vandermonde’a, który jest znany jako nieosobliwa (patrz dodatek).

Jeżeli istnieją inne podwójne korzenie, mogą być przetwarzane w taki sam sposób.

Korzenie wyższej mnogości mogą być traktowane w podobny sposób, przy użyciu pochodnych wyższego rzędu.

DODATEK. Kwadratowych Vandermonde Macierze

Kwadratowa Macierz Vandermonde’a jest macierz V, której wiersze są geometryczne progresje z poniższego formularza:

| 1, r1, r1 2, r1 3, …, r1 n-1 |
| 1, r2, r2 2, r2 3, …, r2 n-1 |
V = | 1, r3, r3 2, r3 3, …, r3 n-1 |
***
| 1, rn, rn 2, rn 3, …, rn n-1 |


Jeśli r1, r2, r3, … rn różne, matryca jest nieosobliwa.

Aby to udowodnić, najpierw zauważyć, że jeśli V były w liczbie pojedynczej, to nie byłoby pewne niezerowe kolumna wektora u = (u1, u2, u3, … un)T takie, że Vu jest zero, to znaczy

u1 + u2r1 + u3r1 2 + … + unr1 n-1 = 0
u1 + u2r2 + u3r2 2 + … + unr2 n-1 = 0
***
u1 + u2rn + u3rn 2 + … + unrn n-1 = 0

Jednak wymaga to wielomian p(x) = u1 + u2x + u3x 2 + … + unx n-1 mają różne korzenie n r1, r2, r3, … rn co jest możliwe, gdyż jest to niezerowe wielomianem stopnia co najwyżej n-1.

W kwadratowy zlewny Macierz Vandermonde’a, niektóre wiersze są towarzyszy ich pochodnych.Sama argumentacja jest używany, ale wielomian p (x) ma mniej niż n odmiennych korzeni. Jednakże ma korzenie, których krotności dodać do N, co jest również możliwe z niezerowym wielomianem stopnia co najwyżej n-1.